Önsöz

Bu kitap, üniversitelerimizin [Fen ve Mühendislik Bölümlerinin] birinci sýnýflarýnda oku-tulan, Matematik II ve/veya Matematik Analiz III-IV derslerinin içerikleri dikkate alýnarak hazýrlanmýþtýr. Elbette amaç, kitabýn bir yardýmcý kaynak olmasýndan ziyade, bir ders kitabý olabilmesidir. Kitabýn, bir ders kitabý olmasý hedeflendiðinden, konular anlatýlýrken, ayrýn-týlara girilmiþ, az sayýda da olsa teoremlerin ispatlarý en ince detaylarýna kadar verilmiþtir. Teorinin anlaþýlmasýnda zorluk çekilmemesi için hemen hemen bütün taným ve/veya teorem-den sonra çok sayýda örnek verilmiþtir. Böylece teorinin pekiþtirilmesi saðlanmaya çalýþýlmýþ-týr. Bütün örneklerin çözümleri, mümkün olduðunca açýk ve ayrýntýlý yapýlmaya gayret edil-miþtir. Tanýtýlan kavramlardan hemen sonra verilen çözümlü örneklerin hemen hemen tama-mý,  dikkatli bir þekilde seçilmiþ ve özellikle öðrencilere itici gelmemesi için, fazla teorik ör-nek verilmemiþtir. Her alt baþlýðýn ve bölümün sonuna, çok sayýda alýþtýrma konmuþ ve tama-mýnýn da cevabý verilmiþtir. Bu alýþtýrmalarý çözerken, bazýlarýnýn zor olduðunu göreceksiniz. Fakat biraz dikkatli olursanýz, muhtemelen çözmekte zorlanmayacaksýnýz. Amaç, konunun anlaþýlýp anlaþýlmadýðýnýn kontrol edilmesidir. Kitabýn düzeni aþaðýdaki gibidir.

Ýlk bölümde diziler yer almaktadýr. Bu bölümde, çok fazla olmasa da dizilerle ilgili birçok temel kavramlarý bulmak mümkündür.

Bölüm 2 de sonsuz seriler incelenmektedir. Seriler, kýsaca tanýtýldýktan sonra, serilerin karakterlerini belirlemekte kullanýlan testler anlatýlmýþ ve sonra, belki de serilerin ne iþe yaradýðýný anlamakta bizlere yardýmcý olan konular/kavramlar, uygun bir sýrada verilmeye çalýþýlmýþtýr.

Bölüm 3, genel olarak iki- ve üç-boyutlu uzaylarda kullanýlacak þekilde vektörlerin tanýtýlmasýna ayrýlmýþtýr. Bu bölümde, vektörlerle ilgile hemen hemen bütün kavram-lara, -biraz geometrik bakýþ ile- yer verilmektedir. Bunun yanýnda, doðru ve düzlem-lerle ilgili yeterli ayrýntýlar ve kuadratik yüzeyler de bu bölüm içinde ele alýnmýþtýr.

Taným kümesi, reel eksende bulunan (genelde, bir aralýk) ve deðer bölgesi vektörler-den ibaret olan tek deðiþkenli fonksiyonlar, Bölüm 4'ü oluþturmaktadýr. Birim teðet, esas birim normal gibi bazý geometrik kavramlar da bu bölümde anlatýlmaktadýr.

Bölüm 5, çok deðiþkenli fonksiyonlarýn analizine ayrýlmýþtýr. Katlý limit, kýsmi türev, diferansiyellenebilme, maksimum-minimum gibi kavramlar, bu bölümde ele alýnan konulardan bazýlarýdýr.

Ýki ve üç katlý integraller, Bölüm 6 nýn konusunu oluþturmaktadýr. Ýki ve üç katlý in-tegrallerin alan ve hacim gibi uygulamalarý, bu bölümün konularý arasýnda yer almak-tadýr.

Bölüm 7 de vektör deðerli fonksiyonlarýn analizi verilmiþtir. Eðrisel integraller, Green, Diverjans ve Stokes gibi integral teoremleri ve daha birçok kavram, bu bölümde anla-týlmaktadýr.

Eðer sevgili okuyucularýmýz, baþka kaynaklara ihtiyaç duyuyorsa, bu kitabý hazýrlarken bizim de oldukça faydalandýðýmýz, aþaðýda sýralanan kitaplara bakabilir:

Edwards, C. H. and Penney, D. E., Calculus and Analytic Geometry, Prentice-Hall, Inc., 1986. (Ýkinci baský).

Protter, M. H. and Morrey, C. B., Modern Mathematical Analysis, Addison-Wesley Pub. Comp., Inc., 1964.

Salas, S. L., Hille, E. and Etgen, G. J., One and Several Variables: Calculus, John Wiley & Sons, Inc., 2003. (Dokuzuncu baský).

Berman, G. N., A Problem Book in Mathematical Analysis, Mir Publisher, 1990.

Bu kitabýn tasnifinde bize yardýmcý olan Arþ. Gör. Ergün YAÞAR'a ve basýmýný özenle ger-çekleþtiren Birsen Yayýnevi çalýþanlarý adýna Sayýn Bahadýr ALGIN'a teþekkür ederiz.

Þüphesiz kitapta, bazý hatalar olmuþtur. Bu konuda ve kitabýn geneli üzerine, her türlü eleþtiri ve uyarýlara açýk olduðumuzu belirtir, ilginize teþekkür ederiz.

Salih Çelik

Sultan A. Çelik

Ýstanbul 2008

Ýçindekiler
1	DÝZÝLER		1
	1.1 Sonsuz Diziler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		1
	1.2 Bir Dizinin Limiti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		5
	1.3 Limit Hesabý Üzerine Teoremler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		8
	1.4 Monoton Diziler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		15
2	SERÝLER		25
	2.1 Giriþ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		25
	2.2 Serilerin Karakteri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		27
	2.3 Pozitif Seriler Ýçin Yakýnsaklýk Testleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		34
	2.4 Alterne Seriler; Mutlak ve Þartlý Yakýnsaklýk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		49
	2.5 Kuvvet Serileri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		54
	2.5.1	Yakýnsaklýk Yarýçapý ve Aralýðý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	54
	2.5.2	Kuvvet Serilerinin Cebiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	57
	2.5.3	Kuvvet Serileri ve Fonksiyonlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	58
	2.5.4	Kuvvet Serilerinin Türev ve Ýntegrali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .˙	60
	2.6 Taylor ve Maclaurin Serileri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		65
	2.6.1  Taylor Seri Açýlýmý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		65
	2.6.2  Taylor Polinomlarý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		67
	2.6.3   Kuvvet Serilerinin Bazý Uygulamalarý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		72
3	VEKTÖRLER		83
	3.1  Uzayýna Giriþ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		83
	3.2 Vektörler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		90
	3.3 Vektör Aritmetiði. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		93
	3.4 Nokta Çarpýmý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		97
	3.5 Vektörel Çarpým. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		107
	3.6 Doðrular ve Düzlemler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		115
	3.6.1	Doðrular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	115
	3.6.2	Düzlemler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	123
	3.7 Kuadratik Yüzeyler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		131
4	VEKTÖREL FONKSÝYONLAR		137
	4.1 Vektör Deðerli Fonksiyonlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		137
	4.1.1	Giriþ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	138
	4.1.2	Vektörel Limit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	139
	4.1.3	Vektörel Süreklilik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	141
	4.1.4	Vektörel Türev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	142
	4.1.5	Vektörel Ýntegrasyon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	144
	4.2 Eðriler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		146
	4.2.1	Giriþ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	146
	4.2.2	Teðet Vektör. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	148
	4.2.3	Birim Teðet, Esas Normal ve Oskilatör Düzlemi. . . . . . . . . . . . . . .	149
	4.3 Bir Eðri Boyunca Hareket. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		153
	4.3.1	Hýz ve Ývme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	153
	4.3.2	Yay Uzunluðu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	156
5	KISMÝ TÜREV		161
	5.1 Giriþ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		161
	5.2 Çok Deðiþkenli Fonksiyonlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		162
	5.3 Limit ve Süreklilik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		167
	5.4 Kýsmi Türev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		174
	5.4.1	Giriþ: Kýsmi Türevin Tanýmý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	174
	5.4.2	Kýsmi Türevlerin Yorumlarý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	176
	5.4.3	Teðet Doðru. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	177
	5.4.4	Teðet Düzlem ve Normal Doðru. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	178
	5.4.5	Yüksek Mertebeden Türev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	181
	5.5 Toplam Diferansiyel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		187
	5.5.1	Giriþ: Tek Deðiþkenli Durum. . . . . . . . . . . .	187
	5.5.2	z Ýçin Bir Formül. . . . . . . . . . . . . . . . .	188
	5.5.3	Lineer Yaklaþým. . . . . . . . . . . . . . . . . . .	189
	5.5.4	Toplam Diferansiyel. . . . . . . . . . . . . . . . .	191
	5.6 Zincir Kuralý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		193
	5.7 Yönlü Türevler ve Gradyen Vektör. . . . . . . . . . . . . . .		199
	5.7.1	Yönlü Türev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	199
	5.7.2	Gradyen Vektör. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	203
	5.8 Maksimum ve Minimum Deðerler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		210
	5.8.1	Bölgesel Maksimum ve Minimum Deðerler. . . . . . . . . . . . . . . . . .	210
	5.8.2	Mutlak Maksimum ve Minimum Deðerler. . . . . . . . . . . . . . . . . .	214
	5.8.3	Yan Þartlý Ekstremumlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	217
	5.8.4	Lagrange Çarpaný. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	219
	5.9 Kapalý Fonksiyonlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		225
	5.10 Taylor Formülü. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		232
6	ÝKÝ VE ÜÇ KATLI ÝNTEGRALLER		239
	6.1 Giriþ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		239
	6.2 Bir Dikdörtgen Üzerinde Ýki Katlý Ýntegral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		240
	6.2.1	Darboux Ýntegrali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	240
	6.2.2	Riemann Ýntegrali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	244
	6.3 Tekrarlama Yoluyla Ýki Katlý Ýntegralin Hesabý. . . . . . . . . . . . . . . . . . .		247
	6.4 Bir Bölge Üzerinde Ýki Katlý Ýntegral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		250
	6.5 Ýki Katlý Ýntegralin Geometrik Yorumlarý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		259
	6.5.1	Hacim Hesabý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	259
	6.5.2	Alan Hesabý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	262
	6.6 Ýki Katlý Ýntegrallerde Deðiþken Deðiþtirme. . . . . . . . . . .		266
	6.7 Kutupsal Koordinatlarda Ýki Katlý Ýntegraller. . . . . . . . . .		273
	6.8 Dik Koordinatlarda Üç Katlý Ýntegraller. . . . . . . . . . . . .		281
	6.9 Üç Katlý Ýntegrallerde Deðiþken Deðiþtirme. . . . . . . . . . .		289
	6.9.1	Silindirik Koordinatlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	289
	6.9.2	Küresel Koordinatlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	293
7	VEKTÖREL ANALÝZ		303
	7.1 Vektör Alanlarý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		303
	7.1.1	Giriþ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	303
	7.1.2	Vektör ve Skaler Alanlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	304
	7.1.3	Bir Vektör Alanýnýn Diverjansý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	309
	7.1.4	Bir Vektör Alanýnýn Rotasyoneli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	312
	7.1.5	Tam Diferansiyellik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	315
	7.2 Eðrisel Integraller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		319
	7.2.1	Giriþ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	319
	7.2.2	Bir Eðrisel Ýntegralin Tanýmý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	320
	7.2.3	Eðrisel Ýntegrallerin Hesabý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	322
	7.2.4	Yay Uzunluðuna Göre Eðrisel Ýntegraller. . . . . . . . . . . . . . . . . . .	326
	7.2.5	Vektör Alanlarýnýn Eðrisel Ýntegralleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	328
	7.2.6	Yoldan Baðýmsýzlýk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	334
	7.3 Green Teoremi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		343
	7.4 Yüzey Ýntegralleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		352
	7.4.1	Parametrelenmiþ Yüzeyler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	352
	7.4.2	Parametrelenmiþ Bir Yüzeyin Alaný. . . . . . . . . .	355
	7.4.3	Yüzey Ýntegralleri. . . . . . . . . . . . . . .	360
	7.4.4	Yüzey Ýntegralleri Ýçin Vektörel Notasyon. Bir Vektör Alanýnýn Akýsý	366
	7.5 Diverjans Teoremi. . . . . . . . . . . . . . . . .		375
	7.6 Stokes Teoremi. . . . . . . . . . . . . . . . . . .		381